För dig som är särskilt intresserad – varför stämmer reglerna?
Här är korta bevis med bilder för reglerna du använder i geometrin. Du behöver dem inte för att räkna uppgifterna. Men de visar varför reglerna alltid gäller, och på A-nivå vill uppgifter i NP-stil ofta att du motiverar just det.
Innehåll
Pythagoras sats
Rita en kvadrat med sidan a + b. Lägg fyra likadana rätvinkliga trianglar i den, på två olika sätt. I bild 1 blir det kvar en kvadrat med arean c², och i bild 2 två kvadrater med areorna a² och b². Den stora kvadraten och trianglarna är lika stora i båda bilderna, så det som blir kvar är också lika stort.
- bild 1: 4 trianglar + c²
- bild 2: 4 trianglar + a² + b²
- ⇒c² = a² + b²
Tips Mitten i bild 1 är verkligen en kvadrat. Vid varje hörn är triangelns två spetsiga vinklar tillsammans 90°, så det som blir kvar av det raka strecket är 180° − 90° = 90°.
Bara i rätvinkliga trianglar – och omvändningen
Beviset använder den räta vinkeln, så satsen gäller bara i rätvinkliga trianglar. Omvändningen gäller också: om a² + b² = c² är vinkeln mitt emot c rät.
- sidorna 9, 12 och 15
- 9² + 12² = 81 + 144
- =225 = 15²
- →rätvinklig
- sidorna 6, 8 och 11
- 6² + 8² = 100, men 11² = 121
- →inte rätvinklig
Vinkelsumman i en triangel
Dra en linje genom triangelns topp, parallell med basen. Vinklarna u och v vid basen finns då också vid toppen, som alternatvinklar. Vid toppen ligger u, w och v längs ett rakt streck, och ett rakt streck är 180°.
- u + w + v = 180°
- 50° + 60° + w = 180°
- ⇒w = 70°
Tips Alternatvinklar vid parallella linjer är lika stora. Det är hela knepet.
Vinkelsumman i en n-hörning
Välj ett hörn i en konvex n-hörning, där alla hörn pekar utåt, och dra diagonaler till alla hörn som inte är grannar. Då delas figuren i n − 2 trianglar. Varje triangel har vinkelsumman 180°, så hela figuren har (n − 2) · 180°. Delningen visas här för en konvex figur, men formeln gäller för alla n-hörningar.
- femhörning: n = 5
- (5 − 2) · 180°
- =540°
Tips En fyrhörning har (4 − 2) · 180° = 360°.
Yttervinklarnas summa
Gå runt figuren och sväng vid varje hörn. Svängen är yttervinkeln. När du är tillbaka där du började har du vänt ett helt varv, så yttervinklarna är tillsammans 360°.
- regelbunden sexhörning
- yttervinkel: (360°)/6 = 60°
- innervinkel: 180° − 60° = 120°
Tips Kontroll med formeln: (6 − 2) · 180° = 720°, och (720°)/6 = 120°.
Areaskala och volymskala
Förstora en kvadrat med längdskalan k. Den nya kvadraten har sidan k och rymmer k · k = k² små kvadrater. En kub med kanten k rymmer på samma sätt k · k · k = k³ små kuber. Därför är areaskalan k² och volymskalan k³.
- k = 3
- areaskala 3² = 9
- volymskala 3³ = 27
Tips Det gäller alla figurer, inte bara kvadrater. Varje liten ruta i figuren blir k² gånger så stor.
Kongruens: SSS, SVS och VSV
Tre sidor (SSS) bestämmer en triangel. Passaren från basens två ändar ger bara ett läge för det tredje hörnet, och spegelbilden på andra sidan är kongruent. Två sidor och vinkeln emellan (SVS), eller två vinklar och sidan emellan (VSV), går också att rita klart på bara ett sätt.
Två sidor och en vinkel som inte ligger mellan dem räcker inte. Med AB = 6 cm, BC = 4 cm och vinkeln A = 30° kan BC landa på två ställen, så det finns två olika trianglar.
- SSS tre sidor
- SVS två sidor och vinkeln emellan
- VSV två vinklar och sidan emellan
Tips Kolla att vinkeln ligger mellan de två sidorna. Annars kan det finnas två olika trianglar.
Likformighet: två lika vinklar räcker
Om två vinklar i en triangel är lika stora som två vinklar i en annan, är också den tredje lika stor. Den är ju 180° minus de två andra. Lägg den lilla triangeln i hörnet på den stora: sidan mitt emot blir parallell, så den lilla är en förminskning av den stora. Alla sidor får samma förhållande k.
- vinklarna 50° och 70° i båda
- tredje: 180° − 50° − 70°
- =60° i båda
- AB = 3 cm och AB′ = 6 cm
- k = 6/3 = 2
Tips Ett lika vinkelpar räcker inte. Två räcker alltid, eftersom den tredje vinkeln följer av vinkelsumman.